Olgu ringi keskpunkt \( O = (0, 0) \) ja raadius \( r \). Seega on ringi võrrand:

$$ x^2 + y^2 = r^2. $$

Olgu hüpotenuusi otspunktid \( A = (-r, 0) \) ja \( B = (r, 0) \), mis paiknevad ringi diameetril. Suvaline kolmas punkt \( C = (x, y) \) asub ringi äärel, seega rahuldab tingimust:

$$ x^2 + y^2 = r^2. $$

Peame näitama, et kolmnurk \( \triangle ABC \) on täisnurkne. Selleks kontrollime, kas vektorite \( \vec{AC} \) ja \( \vec{BC} \) skalaarkorrutis on null, mis näitab, et nad on risti. Vektorid on:

$$ \vec{AC} = (x + r, y), \quad \vec{BC} = (x - r, y). $$

Nende skalaarkorrutis on:

$$ \vec{AC} \cdot \vec{BC} = (x + r)(x - r) + y \cdot y. $$

Arvutame selle väärtuse:

$$ \vec{AC} \cdot \vec{BC} = x^2 - r^2 + y^2. $$

Kuna punkt \( C \) asub ringil, siis \( x^2 + y^2 = r^2 \). Asendades selle skalaarkorrutise avaldisse, saame:

$$ \vec{AC} \cdot \vec{BC} = r^2 - r^2 = 0. $$

Kuna skalaarkorrutis on null, on vektorid \( \vec{AC} \) ja \( \vec{BC} \) risti. Seega on kolmnurk \( \triangle ABC \) täisnurkne.