Ülesanne.
Kolmnurga ABC üks tipp on punktis A koordinaatidega (1; 2). Antud on vektorid AB = (4; -3) ja AC = (1; 6). Leidke kolmnurga ABC pindala. Seejärel leidke sirge võrrand ja tõus, mis läbib punkti, mis asub kolmandikul küljel BC punkti B poolt lähenedes, ja on risti vektoriga (3; 2).
Vastus.
Esmalt tuleb meil leida külgede AB, AC ja BC pikkused:
$$AB = \sqrt{4^2 + (-3)^2} \newline = \sqrt{16 + 9} \newline = \sqrt{25} \newline = 5 $$ $$AC = \sqrt{1^2 + 6^2} \newline = \sqrt{1 + 36} \newline = \sqrt{37} $$ $$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (-3-6)^2} \newline = \sqrt{3^2 + 9^2} \newline = 3\sqrt{10} $$
Kolmnurga ABC pindala leidmiseks kasutame Heroni valemit:
$$p=\frac{5+\sqrt{37}+3\sqrt{10}}{2}$$ $$S=\sqrt{p(p-5)(p-\sqrt{37})(p-3\sqrt{10})}$$ $$S=13.5$$
Kuna vektor (3; 2) on risti sirgega, siis sirge tõus tuleb valemist:
$$k_1 \cdot k_2 = -1$$ $$k_1 = -\frac{3}{2}$$
Sirge, mis on punktist B vektori (1; 3) kaugusel, võrrandiks saame:
$$y-2=-\frac{3}{2}(x-1)$$ $ $y=-\frac{3}{2}x + 8$$