Ülesanne.

Viisnurga ABCDE üks tipp on punktis A koordinaatidega (0; 0). Antud on vektorid AB = (3; 4), AC = (1; -6) ja AE = (-4; 1). Punkt D asub sirgete y=-1,75x-4,5 ja y=3x-14 lõikepunktis. Leidke vektor DC ja tekkinud kujundi kõik nurgad.

Vastus.

Leiame sirgete lõikepunkti:

$$-1,75x-4,5 = 3x-14$$ $$9,5 = 4,75x$$ $$\frac{9,5}{4,75} = x$$ $$x = 2$$ $$y = -8$$ $$D(2; -8)$$

Leiame vektori DC:

$$C = A + \vec{AC} = (0; 0) + (1; -6) = (1; -6)$$ $$\vec{DC} = C - D = (1; -6) - (2; -8) = (-1; 2)$$

Leiame kõik nurgad skalaarkorrutise abil:

$$ \alpha = \arccos{\frac{(-3)(-2) + (-4)(-10)}{5}{\sqrt{104}}} \approx 25.56^\circ$$ $$ \beta = (180^\circ - \arccos{\frac{2 + 10(-2)}{\sqrt{52}\sqrt{41}}}) + 180^\circ \approx 217.87^\circ$$ $$ \gamma = \arccos{\frac{(-1)(-6) + 18}{\sqrt{5}\sqrt{117}}} \approx 7.13^\circ$$ $$ \delta = \arccos{24 + (-1)(-9){\sqrt{17}\sqrt{117}}} \approx 42.27^\circ$$ $$ \epsilon = 540 - \alpha - \beta - \gamma - \delta \approx 247.17^\circ$$