Ülesanne.

Punktist A koordinaatidega (0; 0) tõmmati vektor AB = (7; 5). Seejärel tõmmati veel vektorid AC = (3; 1), CD = (-1; 5), DE = (3; -4) ja ED = (2; 3). Punktid, kus vektorid lõikasid vektorit AB on vastavalt F ja G, moodustades kolm kolmnurgad ACF, FDG ja GEB. Leia kolmnurkade pindalade summa.

Vastus.

Kolmnurga ACF pindala leidmiseks on vaja leida sirgete AC ja CD lõikepunkt. Selleks tuleb meil esmalt koostada sirgete AB ja CD võrrandid ning seejärel need võrdsustada. Sirgete võrrandid on vastavalt:

$$\frac{x-0}{7-0}=\frac{y-0}{5-0}$$ $$y=\frac{5x}{7}$$ $$\frac{x-3}{2-3}=\frac{y-1}{5}$$ $$y=-5x + 16$$

Sirgete lõikepunkti leidmiseks tuleb võrrandid võrdsustada:

$$\frac{5x}{7}=-5x + 16$$ $$5x=-35x + 112$$ $$40x=112$$ $$x=2.8$$ $$y=\frac{5*2.8}{7}=2$$

Seega on sirgete AC ja CD lõikepunktiks punkt F koordinaatidega (2.8; 2). Teades punkti F, peame leidma sirgete AC, AF ja CF pikkused. Sirgete pikkused on vastavalt:

$$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$$ $$AF=\sqrt{(2.8-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{11.84}$$ $$CF=\sqrt{(2.8-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{1.04}$$

Kolmnurga ACF pindala on leitav Heoroni valemi abil:

$$S_{ACF}=\sqrt{p(p-AC)(p-AF)(p-CF)}$$ $$p=\frac{AC+AF+CF}{2}$$ $$p=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{11.84}+\sqrt{1.04}}{2}$$ $$S_{ACF}=1.6$$

Sarnaselt leitakse kolmnurkade FDG ja GEB pindalad ning pindalate summa on 7.05